В центре многих исследований физических систем, таких как, прогнозирование финансовых рынков и рынков ценных бумаг, системный анализ, сжатие изображения и жидкостная динамика, наука хаоса обещает продолжать производить поглощающую научную информацию, которая может сформировать лицо науки в будущем.

Всегда нужно знать о новых открытиях одну вещь - что в них хорошего. Так что хорошего в теории хаоса? Первое и самое главное, теория хаоса - это теория. И как таковая, в большей степени она используется как научная основа, чем как непосредственно прикладные знания. Теория хаоса имеет громадное значение в качестве точки зрения на события, которые происходят в мире, отличающейся от более традиционного строго детерминированного взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Любители кино, кто смотрел фильм «Парк Юрского периода», несомненно, знают, что теория хаоса может основательно повлиять на точку зрения, которая сложилась относительно строения мира; и действительно, теория хаоса полезна как средство интерпретации научных данных в новом свете. Вместо традиционного графика X-Y, ученые могут теперь интерпретировать диаграммы фазового пространства, которые скорее являются описанием точного положения некоторой переменной относительно времени, и представляют полное поведение системы. Вместо поиска строгих формул, удовлетворяющие статистическим данным, мы можем теперь искать динамические системы с поведением подобным по природе статистическим данным, то есть системы, которые схожи с аттракторами. Теория хаоса создает основу, с помощью которой развиваются научные знания. Однако, нельзя сказать, что теория хаоса не имеет никакого применения в реальной жизни. Методы теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, несомненно, являются одними из наиболее хаотических систем, которые можно представить. Системы динамических уравнений использовались для моделирования всего: начиная ростом населения к эпидемиям и заканчивая аритмией пульсации сердца.

Фактически любая хаотическая система может быть легко смоделирована - рынок акций обеспечивает тенденции, которые могут быть проанализированы с использованием "странного аттрактора" намного легче, чем с применением стандартных явных уравнений; капание водопроводного крана кажется случайным непривычному уху, но когда составляется график «странного аттрактора», обнаруживается жуткий порядок, неожиданный с обычной точки зрения. Рекурсивные методы сжатия изображений - все еще исследуются, но они обещают удивительные результаты, - графический коэффициент сжатия будет 600:1! Спецэффекты кинофильмов будут иметь более реалистичные облака, горы и тени с применением фрактальной графической технологии.

Наиболее частое неправильное представление - это то, что теорию хаоса считают наукой о беспорядке. Ничто не может быть так далеко от правды. Теория хаоса не о нарушениях! Она не опровергает детерминизм и не утверждает, что упорядоченные системы не возможны. Теория хаоса не лишает законной силы экспериментальные доказательства, и не утверждает, что комплексы систем моделирования бесполезны. Хаос в теории хаоса - порядок, не просто порядок, а сама сущность порядка. Это правда, что теория хаоса описывает те незначительные изменения, которые в дальнейшем могут вызвать огромные флуктуации. Однако, одна из центральных концепций теории хаоса это то, что в то время пока не возможно точно предсказать состояние системы, это вообще, совершенно возможно, даже просто, промоделировать поведение системы. Таким образом, теория хаоса акцентирует свое внимание не на беспорядке систем и непредсказуемости, а на порядке, неустранимом в системе, универсальном поведении таких систем.

Таким образом, неправильно говорить, что теория хаоса о нарушениях. Чтобы увидеть это на примере, рассмотрим аттрактор Лоренца. Аттрактор Лоренца основан на трех дифференциально-разностных отношений, трех константах, и трех начальных условиях. Этот аттрактор показывает поведение газа в любое данное время, причем, условия состояния в любое данное время, зависит от условий состояния в предыдущий момент времени. Даже при небольших изменениях начальных условий, поведение может сильно меняться. Это происходит потому, что малые разногласия распространяются рекурсивно до тех пор, пока числа не станут полностью подобными первоначальной системе с первоначальными условиями.

Обе системы будут иметь полностью различные значения в любое данное время, и все же график полного поведения системы будет тот же самый. Теория хаоса предсказывает, что комплексные нелинейные системы по существу непредсказуемы, но, в то же самое время, теория хаоса также страхует, что часто, способ выразить непредсказуемость системы лежит не в точном уравнении, а представлении поведения системы - в виде графиков аттракторов или фракталах.

Рынки акций являются нелинейными динамическими системами. Теория хаоса – это математика исследования функционирования таких нелинейных, динамических систем. Анализ хаоса установил, что рыночные цены сильно рандомизированы, но все же имеют некоторую тенденцию. Количество тенденций меняется от рынка к рынку и время от времени. Концепцией, которая заключена в хаотических системах, являются фракталы. Как уже было сказано, фракталы - это объекты, являющиеся само подобными в смысле, что отдельные части связаны с целым. Популярный предмет этого - дерево. Когда ветки становятся все меньше и меньше, все они подобны структуре больших ветвей и всему дереву в целом. Точно так же в действии цен на рынке, поскольку цены рассматриваются ежемесячно, еженедельно, ежедневно, строятся гистограммы на день, неделю, месяц, структура имеет подобное проявление. Так же как и с естественными объектами, когда начинаешь рассматривать объект все ближе и ближе, его будет видно более подробно. Другая характеристика хаотических рынков вызвана чувствительной зависимостью от начальных условий. Именно поэтому рыночные динамические системы так сложно предсказуемы. Мы не можем точно описать текущую ситуацию, потому что, погрешности в описании интенсивно появляются из-за сложности системы. Поэтому точные предсказания становятся невозможными. Даже если мы можем точно предсказать завтрашний рынок акций (чего мы сделать не можем), мы по-прежнему имеем нулевую точность, пытаясь предсказать поведения рынка даже на двадцать дней вперед.

Ряд крупных торговцев и экспертов предложили, что их торговля по данным одного дня, таких как, пятиминутной гистограммы, торгуют произвольным шумом, и таким образом, тратили свое время. Через некоторое время они обречены к сбою издержками торговли. В тоже время эти эксперты говорили, что долговременное действие цен не случайно. Продавцы могут успешно продавать по ежедневным или еженедельным таблицам, если только они будут следовать тенденции. Естественно возникает вопрос: как могут на одном и том же рынке данные краткосрочного периода быть случайными, а долгосрочного не быть? Если данные краткосрочного периода накапливаются для формирования долгосрочных данных, должны ли они также быть случайными? Так получается, что этот парадокс имеет место быть. Система может быть случайной в краткосрочном периоде и быть детерминированной в долгосрочной перспективе.

Рассмотрим прогнозирование рынка акций на примере, который действительно имел место быть. Американец, по имени Джон Мэтьюс, разработал собственный алгоритм прогнозирования рынка ценных бумаг, который предсказывал поведение рынка с точностью 90% из 100% возможных. Он решил вложить часть собственных средств в компанию JSE, используя этот алгоритм. Вместо обещанных 4-х % он получил 47%!

Это общепринятая истина, что цены на акции изменяются циклически, а у каждой акции есть свой собственный цикл или множество циклов, что похоже на отпечатки пальцев человека. Это основа алгоритма. Даны закрытые цены любых акции за период времени. Алгоритм находит все возможные циклы, которые существуют в данной системе, используя разработанный фрактал. Как только циклы будут найдены, самый сильный идентифицированный цикл (он называется цикл хаоса, поскольку все акции и индексы следуют этому циклу), экстраполяция становится обычной задачей алгебры. Поведение каждой акции может быть предсказано за день, за неделю, за месяц или даже за год заранее.

Чтобы разместить больше информации, необходимы достаточно эффективные алгоритмы архивации. Речь пойдет о новом перспективном алгоритме - фрактальном сжатии графической информации. Неудивительно, что идея использовать фракталы при сжатии возникала и раньше, но считалось практически невозможным построить соответствующий алгоритм, который подбирал бы коэффициенты за приемлемое время.

В 1991 году такой алгоритм был найден Майклом Барнсли. Кроме того, в его статьях декларировался ряд уникальных возможностей новой технологии. Так, фрактальный архиватор позволяет, например, при распаковке произвольно менять разрешение изображения без появления эффекта зернистости. Более того, он распаковывает гораздо быстрее, чем ближайший конкурент, JPEG, и не только статическую графику, но и видео. В качестве примера приводилась программа, показывающая на машине с процессором i386/33 МГц цветной видеофильм с частотой 20 кадров в секунду без всякой аппаратной поддержки. В отличие от JPEG, в алгоритм изначально заложена возможность управлять степенью потерь на участках с максимальными потерями качества. Коэффициент сжатия изображений в целом примерно как у JPEG, но на некоторых реальных картинках достигалось сжатие в 10000 раз!

Звучит это более чем внушительно, поэтому необходимо спокойно разобраться с преимуществами, которые обещает фрактальная компрессия, а также с возможными неприятными сторонами этого алгоритма.

Фрактальная архивация основана на том, что с помощью коэффициентов системы итерируемых функций (IFS) изображение представляется в более компактной форме. Прежде чем рассматривать процесс архивации, разберем, как IFS строит изображение. Строго говоря, IFS - это набор трехмерных аффинных преобразований, переводящих одно изображение в другое. Преобразованию подвергаются точки в трехмерном пространстве (x координата, у координата, яркость). Наиболее наглядно этот процесс продемонстрировал сам Барнсли в своей книге "Фрактальное сжатие изображения". В ней введено понятие фотокопировальной машины, состоящей из экрана, на котором изображена исходная картинка, и системы линз, проецирующих изображение на другой экран. Каждая линза проецирует часть исходного изображения. Расставляя линзы и меняя их характеристики, можно управлять получаемым изображением. На линзы накладывается требование: они должны уменьшать в размерах проектируемую часть изображения. Кроме того, они могут менять яркость фрагмента и проецируют не круги, а области с произвольной границей. Цель машины состоит в построении с помощью проецирования по исходному изображению нового. Утверждается, что на некотором шаге изображение перестанет изменяться. Оно будет зависеть только от расположения и характеристик линз и не будет зависеть от исходной картинки. Это изображение называется неподвижной точкой или аттрактором данной IFS. Теорема Колледжа гарантирует наличие ровно одной неподвижной точки для каждой IFS. Поскольку отображение линз является сжимающим, каждая линза в явном виде задает самоподобные области в нашем изображении. Благодаря самоподобию мы получаем сложную структуру изображения при любом увеличении.

Наиболее известны два изображения, полученных с помощью IFS треугольник Серпинского и папоротник Барнсли. Первое задается тремя, а второе - питью аффинными преобразованиями (или линзами). Каждое преобразование задается буквально считанными байтами, в то время, как изображение, построенное с их помощью, может занимать и несколько мегабайт.

Становится понятно, как работает архиватор, и почему ему требуется так много времени. Фактически, фрактальная компрессия - это поиск самоподобных областей в изображении и определение для них параметров аффинных преобразований. В худшем случае, если не будет применяться оптимизирующий алгоритм, потребуется перебор и сравнение всех возможных фрагментов изображения разного размера. Даже для небольших изображений при учете дискретности мы получим астрономическое число перебираемых вариантов. Даже резкое сужение классов преобразований, например, за счет масштабирования только в определенное число раз, не позволит добиться приемлемого времени. Кроме того, при этом теряется качество изображения. Подавляющее большинство исследований в области фрактальной компрессии сейчас направлены на уменьшение времени архивации, необходимого для получения качественного изображения.